Vielfachheit der Nullstelle einer Funktion.

Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in Gholomorphe Funktion, die nicht identisch gleich Null ist, z₀ ∈ G und f (z₀) = 0. Dann existiert eine kleinste Zahl m ∈ ℕ derart, daß \begin{eqnarray}f({z}_{0})={f}^{\prime}({z}_{0})=\cdots ={f}^{(m-1)}({z}_{0})=0\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{f}^{(m)}({z}_{0})\ne 0.\end{eqnarray}

Diese Zahl m heißt die Nullstellenordnung von f in z₀ und wird mit o(f, z₀) bezeichnet. Ist f (z₀) ≠ 0, so setzt man o(f, z₀) := 0. Für die Nullfunktion setzt man o(f, z₀) := ∞. Analoge Definitionen für reelle und andere Funktionen liegen auf der Hand.

Es gilt m = o(f, z₀) genau dann, wenn eine in G holomorphe Funktion \(\hat{f}\) existiert derart, daß \(\hat{f}\) (z₀) ≠ 0 und \begin{eqnarray}f(z)={(z-{z}_{0})}^{m}\hat{f}(z)\end{eqnarray}

für alle z ∈ G. Weiter gelten folgende Rechenregeln für in G holomorphe Funktionen f und g:

• o(fg, z₀) = o(f, z₀) + o(g, z₀) (Produktregel),
• o(f + g, z₀) ≥ min {o(f, z₀), o(g, z₀)}, wobei Gleichheit sicher dann gilt, wenn o(f, z₀) ≠ o(g, z₀).