auch Phasenfluß genannt, ein dynamisches System (M, G, Φ) mit der Gruppe G := ℝ. Die Elemente in ℝ werden dabei als Zeitpunkte interpretiert, in denen sich das System entwickelt, als dessen mögliche Zustände die Punkte im sog. Phasenraum M interpretiert werden. Wird nur G := ℝ⁺ bzw. G := ℕ verwendet, spricht man von einem Halbfluß bzw. diskreten Halbfluß.

Die Punkte des Phasenraumes M können als Teilchen in einer Flüssigkeit interpretiert werden, die im Laufe der Zeit mit der Strömung im Phasenraum mitgeführt werden. Ein Teilchen, das sich zur Zeit 0 bei m befindet, wird dabei von der Strömung bis zur Zeit t ∈ ℝ zum Ort Φ(m, t) mitgeführt. Aus dieser Interpretation rührt der Begriff der Flußaxiome bei dynamischen Systemen. Man beachte, daß das daraus resultierende Strömungsgesetz weder zeitabhängig ist noch Wechselwirkungskräfte innerhalb der Flüssigkeit berücksichtigt werden; dadurch könnte also nur eine ideale Flüssigkeit beschrieben werden.

Oftmals interessiert man sich für die zeitliche Entwicklung eines Gebietes D des Phasenraumes. Der folgende Satz von Liouville macht eine Aussage über die zeitliche Entwicklung des Volumens eines Gebietes im Phasenraum:

Auf einer offenen Menge M ⊂ ℝⁿ sei ein Vektorfeld \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) : W → ℝⁿ gegeben. Es bezeichne Φ : M × ℝ → M den zugehörigen (lokalen) Fluß. Für ein Gebiet D ⊂ M bezeichne D(t) := Φ(D, t) und V(t) := |D(t)| das Volumen von D(t). Dann gilt:

\begin{eqnarray}\frac{dV}{dt}=\int\limits_{D(t)}div\ f(x)dx.\end{eqnarray}

Insbesondere läßt für ein divergenzfreies f (Divergenz eines Vektorfeldes) der zugehörige Fluß das Volumen eines Gebietes im Phasenraum invariant; dieser Fluß ist als Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit interpretierbar. Läßt ein Fluß jedes Gebiet des Phasenraumes invariant, so heißt er volumentreu.

Für ein konstantes lineares Vektorfeld f(x) = Ax im ℝⁿ mit einer konstanten Matrix A gilt die Liou-villesche Formel:

\begin{eqnarray}V(t)=V(0)e^{t\ \mathrm{tr}A},\end{eqnarray}

wobei tr A die Spur von A bezeichnet. Der zu einem solchen dynamischen System gehörende Fluß ist also volumentreu, falls tr A = 0 gilt.