Transformation einer Verteilungsfunktion.

Ist F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen mit zugehöriger momenterzeugender Funktion ϕ, so bezeichnet für h ∈ ℝ \begin{eqnarray}{F}_{h}(x)=\frac{1}{\varphi (h)}\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}{e}^{hy}F(dy)\end{eqnarray} die Esscher-Transformierte von F zum Parameter h. Die zugehörige momenterzeugende Funktion ist \begin{eqnarray}{\varphi }_{h}(t)=\frac{\varphi (t+h)}{\varphi (h)}.\end{eqnarray}

Besitzt F eine Wahrscheinlichkeitsdichte f, so hat die Esscher-Transformierte die Dichte \begin{eqnarray}{f}_{h}(x)=\frac{1}{\varphi (h)}{e}^{hx}f(x).\end{eqnarray}

Die Esscher-Transformion wird verwendet bei der Approximation von Gesamtschadenverteilungen, insbesondere in dem Fall, in dem die Edgeworth-Approximation schlechte Werte liefert. Die Esscher-Transformation findet auch Anwendung bei einem speziellen Prämienkalkulationsprinzip, dem sogenannten Esscher-Prinzip, welches einer ein Risiko repräsentierenden Zufallsvariablen X den Prämienwert \begin{eqnarray}\frac{E(X\cdot {e}^{cX})}{E({e}^{cX})}\end{eqnarray} zuordnet. Man berechnet also den Erwartungswert der Zufallsvariablen X_c, die sich aus X durch Anwendung der Esscher-Transformation zum Parameter c ergibt.