Lexikon der Geowissenschaften: Indikatrix
Indikatrix, optische Bezugsfläche, dreidimensionale Fläche zweiten Grades, die die Brechungsindizes für die möglichen Schwingungsrichtungen der dielektrischen Verschiebung (Dielektrizitätskonstante) des Lichtes in beliebigen Ausbreitungsrichtungen, d.h. Wellennormalenrichtungen, in Kristallen angibt. Sie ist durch folgende Gleichung beschrieben:
Im allgemeinen Fall mit nα nβ nγ beschreibt die Gleichung ein dreiachsiges Ellipsoid, dessen Halbachsen die Hauptbrechungsindizes nα, nβ, nγ sind. Sie werden stets in der angegebenen Reihenfolge nach ihrer Größe indiziert. Die Indikatrix wird auch Fletcher-Ellipsoid oder optische Referenzfläche genannt.
Nach dem Symmetrieprinzip wird die Indikatrix für Kristalle des kubischen Systems mit nα = nβ = nγ durch eine Kugel, für Kristalle des trigonalen (rhomboedrischen), tetragonalen, hexagonalen Systems (wirtelige Kristallsysteme) mit nα = nβ durch ein Rotationsellipsoid sowie für Kristalle des orthorhombischen, monoklinen und triklinen Systems durch ein allgemeines, dreiachsiges Ellipsoid dargestellt. Jede Kristallart hat eine für sie spezifische Indikatrix. Die Symmetrie der Kristalle bestimmt auch die Lage der Indikatrix relativ zu den kristallographischen Achsen. Für die wirteligen Kristallsysteme fällt die Achse des Rotationsellipsoids (optische Achse) mit der Richtung der drei-, vier- bzw. sechszähligen Drehachse zusammen. Im orthorhombischen Kristallsystem stimmen die Hauptachsen des allgemeinen Ellipsoids mit den Symmetrierichtungen des Kristalls, d.h. mit den orthogonalen kristallographischen Achsen, überein. Im monoklinen Kristallsystem stimmt eine Achse der Indikatrix mit der einzigen Symmetrierichtung des Kristalls überein, d.h. mit der kristallographischen Achse, die senkrecht auf den beiden anderen steht. Die Orientierung der beiden anderen Achsen wird nicht durch die Symmetrie festgelegt. Im triklinen Kristallsystem gibt es überhaupt keine Symmetriebedingung für die Orientierung der Indikatrix gegenüber den kristallographischen Achsen.
Ist die Orientierung der Indikatrix im Kristall bekannt, so läßt sich sein optisches Verhalten in jeder Beobachtungsrichtung durch Anwendung des folgenden kristalloptischen Fundamentalsatzes ableiten ( Abb. 1 ). Man bringe die zur Wellennormalenrichtung N des Lichtes senkrechte, durch den Mittelpunkt der Indikatrix gehende Ebene zum Schnitt mit der Indikatrix. Die entstehende Schnittfigur ist im allgemeinen Fall eine Ellipse. Die Größe der beiden Ellipsenhalbachsen ergibt die Größe der beiden Brechungsindizes und ihre Lage die beiden möglichen Schwingungsrichtungen (der dielektrischen Verschiebung) des Lichts. Sie sind immer senkrecht zueinander linear polarisiert.
Für kubische Kristalle sind alle ebenen Schnitte der Indikatrix in beliebigen Ausbreitungsrichtungen Kreise. Kubische Kristalle verhalten sich folglich optisch isotrop (optische Isotropie), der Brechungsindex ist unabhängig von der Ausbreitungsrichtung.
Für Kristalle der wirteligen Kristallsysteme gibt es genau einen Kreisschnitt durch das Rotationsellipsoid. Die Normale dazu heißt optische Achse, es ist die Achse des Rotationsellipsoids. Man bezeichnet diese Kristalle daher als optisch einachsig. Im allgemeinen jedoch sind die ebenen Schnitte Ellipsen. Ein Achsenhalbmesser no der Schnittellipsen eines Rotationsellipsoids ist unabhängig von der Wellennormlenrichtung und immer gleich dem Halbmesser des Schnittkreises. Die in dieser Richtung schwingende Lichtwelle verhält sich infolgedessen isotrop (Isotropie); sie ist senkrecht zum Hauptschnitt polarisiert und bildet den ordentlichen Strahl. Der zweite Achsenhalbmesser der Schnittellipse ne, der Brechungsindex der im Hauptschnitt polarisierten Welle, hängt von der Ausbreitungsrichtung ab. Diese Welle verhält sich infolgedessen anisotrop (Anisotropie) und bildet den außerordentlichen Strahl. Liegt die Wellennormale in der optischen Achse, so pflanzt sich nur eine, nicht polarisierte Welle fort und es findet keine Doppelbrechung statt.
Ein dreiachsiges Ellipsoid hat zwei Kreisschnitte. Die Kreisschnittnormalen, die optischen Achsen, liegen notwendigerweise in der nα-nγ-Ebene (optische Achsenebene, Achsenwinkel, Bisektrix, optische Binormale). Man bezeichnet die Kristalle des orthorhombischen, monoklinen und triklinen Kristallsystems daher als optisch zweiachsig ( Abb. 2 ). Liegt die Wellennormale in einer der optischen Achsen, so pflanzt sich nur eine, nicht polarisierte Welle fort. Der zugehörige Brechungsindex ist nβ. Es findet keine Doppelbrechung statt. Man beobachtet jedoch besondere optische Erscheinungen der Lichtausbreitung, die sog. konische Refraktion. In allen anderen Richtungen beobachtet man Doppelbrechung, d.h. zwei senkrecht zueinander polarisierte Lichtwellen mit verschiedenen Brechungsindizes.
Die Form der Indikatrix und im monoklinen und triklinen Kristallsystem auch deren Orientierung sind wellenlängenabhänigig (Dispersion). Man spricht von Achsendispersion, wenn sich der Winkel zwischen den optischen Achsen mit der Wellenlänge ändert. Man spricht von Rotationsdispersion, wenn sich die Indikatrix in Kristallen des monoklinen Systems um die Achse, die mit der Symmetrierichtung des kristallographischen Koordinatensystems übereinstimmt, bei Änderung der Wellenlänge dreht. Und man spricht von Orientierungsdispersion, wenn sich die Orientierung der Indikatrix gegenüber den kristallographischen Achsen im triklinen System mit der Wellenlänge ändert. [KH, GST]
Indikatrix 1: Indikatrix und Konstruktion zur Bestimmung der Brechungsindizes des ordentlichen no und außerordentlichen Strahls ne eines optisch einachsig positiven Kristalls. Der Kreisschnitt ist dunkelgrau, ein beliebiger Ellipsenschnitt hellgrau markiert (
= Wellennormale, nα, nγ = Hauptbrechungsindizes). Indikatrix 1:
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Indikatrix 2: Indikatrix eines optisch zweiachsigen Kristalls: a) optisch positiv, b) optisch negativ. Eingezeichnet sind die Kreisschnitte und die zugehörigen optischen Achsen (Vγ = halber Achsenwinkel, nα, nβ, nγ = Hauptbrechungsindizes). Indikatrix 2:
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