ein stetiger linearer Operator T : X → Y zwischen Banachräumen mit abgeschlossenem Bild im(T), für den ker(T) und Y/im(T) endlichdimensional sind. Die ganze Zahl

\begin{eqnarray}\mathrm{ind}(T):=\mathrm{dim\ ker}(T)-\mathrm{dim}Y/\mathrm{im}(T)\end{eqnarray}

Die Menge Φ(X, Y) aller Fredholm-Operatoren bildet eine offene Teilmenge des Banachraums aller stetigen linearen Operatoren von X nach Y, und ind : Φ(X, Y) → ℤ ist stetig. Das Produkt zweier Fredholm-Operatoren ist wieder ein FredholmOperator, und es gilt ind(T₁T₂) = ind(T₁)+ind(T₂).

Für einen kompakten Operator K : X → X ist Id+K ein Fredholm-Operator mit Index 0.

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator T : X → Y genau dann ein Fredholm-Operator, wenn T modulo kompakter Operatoren invertierbar ist, d. h., wenn es Operatoren S₁ und S₂ von Y nach X gibt, so daß S₁T — Id_X und TS₂ — Id_Y kompakt sind.

[1] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I. Springer Berlin/Heidelberg, 1986.