Zu »rechnen« bedeutet in der Mathematik oft etwas anderes, als mit konkreten Zahlen zu arbeiten. Man meint damit eher allgemein die Manipulation und Umformung abstrakter Ausdrücke verschiedener Symbole. Vereinfacht gesagt geht es darum, eine Formel zu verändern, ohne sie zu verändern. Oder anders ausgedrückt: Durch die Anwendung der Regeln von Mathematik und Logik versucht man, komplexe Symbolketten in einfachere Ausdrücke zu überführen, so dass am Ende hinter dem Gleichheitszeichen etwas steht, mit dem man etwas anfangen kann. Genau hier kommt die »nahrhafte Null« ins Spiel, die man zum Beispiel in dieser Formel betrachten kann:

Auf den ersten Blick sieht diese Gleichung unnötig kompliziert aus. Die beiden Brüche heben sich ganz offensichtlich gegenseitig auf, und man ist versucht, sie einfach zu streichen, um die Formel einfacher zu machen. Das wäre ein Fehler, denn in diesem Fall hat man sie absichtlich hinzugefügt. Will man eine quadratische Gleichung der Form x^² + ax + b = 0 nach x auflösen, dann kann man das durch eine so genannte »quadratische Ergänzung« lösen. Man addiert einen passenden Term in die Gleichung ein und subtrahiert ihn sofort wieder. Das ändert nichts am Inhalt der Formel, denn man hat ja genau genommen nur die Zahl Null hinzugefügt. Wenn man die Art, wie man diese Null ausdrückt, aber auf die richtige Weise auswählt, kann sie sehr hilfreich ist: Es ist eine »nahrhafte Null«.

In der Gleichung oben kann man in den ersten drei Termen die bekannte binomische Formel erkennen. Sie lassen sich also zu (x + a/2)² zusammenfassen. Damit hat man nun alle Ausdrücke, die ein x enthalten, zusammengefasst und kann die Gleichung entsprechend nach x auflösen. Natürlich gibt es für die Lösung solcher »quadratischen Gleichungen« vorgefertigte Formeln. Man lernt sie in der Schule, wo sie oft als »Mitternachtsformel« bezeichnet werden: Sie sind so wichtig, dass man sie auch dann sofort aufsagen können sollte, wenn man mitten in der Nacht geweckt und danach gefragt wird. Sollte man sie dennoch vergessen haben, bleibt einem aber nichts anderes übrig, als sie selbst herzuleiten. Und dafür braucht man die oben beschriebene Technik der nahrhaften Null.

Eine Lösung aus dem Nichts gezaubert

Sie lässt sich jedoch auch in anderen Bereichen anwenden. Zum Beispiel bei der Berechnung der Stammfunktionen von Integralen oder der Laplace-Transformation. Eines meiner Lieblingsbeispiele für ihren Einsatz ist allerdings die Frage nach der Summe einer reellen Zahl und ihres Kehrwerts: Was ergibt x + (1/x)? Um eine Antwort zu finden, kann man nun einfach 2 addieren und wieder subtrahieren. Den dann auftauchenden Ausdruck x – 2 + 2 + (1/x) kann man ein weiteres Mal über die binomische Formel vereinfachen. Am Ende sieht man, dass die Summe aus Zahl und Kehrwert immer größer als 2 sein muss (mit der Ausnahme von x = 1, wo die Summe gleich 2 ist).

Das mag keine sonderlich revolutionäre Rechnung sein. Doch es demonstriert einen Punkt, der meiner Meinung nach bei der Vermittlung der Mathematik sehr oft viel zu kurz kommt. In der Schule lernt man leider immer noch zu häufig nur das strikte Befolgen von Rechenregeln, und auch in den Augen der Öffentlichkeit gilt die Mathematik als »trockene« Disziplin, in der man Zahlen und Symbole hin- und herschiebt.

Die »nahrhafte Null« zeigt aber eindrucksvoll, dass die Mathematik ohne Kreativität nicht funktionieren kann. Hier wird die Lösung für ein Problem buchstäblich aus dem Nichts gezogen! Natürlich kommt die Mathematik nicht ohne ihren formalen Rahmen aus Definitionen, Beweisen und Regeln aus. Innerhalb dieser Gesetze ist jedoch mehr als genug Platz für Fantasie und Schöpfergeist. Wer einfach nur rechnet, ohne dabei auch kreativ zu sein, wird der Mathematik nicht gerecht. Und scheitert vermutlich daran, die Lösung zu finden.